Tales de Mileto

Tales de Mileto (en griego, Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) (c. 625/4 a. C. - c. 547/6 a. C.) ¹ fue un filósofo y matemático griego. Nació y murió en Mileto, polis griega de la costa Jonia (hoy en Turquía). Fue el iniciador de la escuela filosófica milesia (i.e de Mileto) a la que pertenecen también Anaximandro (su discípulo) y Anaxímenes (discípulo del anterior). En la antigüedad se le consideraba uno de los Siete Sabios de Grecia. No se conserva ningún fragmento suyo y es probable que no dejara ningún escrito a su muerte. Se le atribuyen desde el s. V a.C. importantes aportaciones en el terreno de la filosofía, las matemáticas, astronomía, física etc., así como un activo papel como legislador en su ciudad natal.

Tales es a menudo considerado el iniciador de la especulación científica y filosófica griega y occidental,^2 3 4aunque su figura y aportaciones están rodeadas de grandes incertidumbres.

Se suele aceptar que Tales comenzó a usar el pensamiento deductivo aplicado a la geometría, y se le atribuye la enunciación de dos teoremas geométricos que llevan su nombre.

Los datos biográficos de Tales de Mileto son una mezcla de opiniones, hechos atribuidos a su persona, y citas con mayor o menor grado de verosimilitud, recogidas de diversos autores de épocas bastante posteriores, reinterpretados y expuestos a la luz de la mentalidad del narrador.

Tales nació en la ciudad de Mileto (griego: Μίλητος, turco: Milet), una antigua ciudad en la costa occidental de Asia Menor (en lo que actualmente es laProvincia de Aydın en Turquía), cerca de la desembocadura del río Menderes. La mayoría de los historiadores lo presentan como genuino milesio (aunque, según Diógenes Laercio, doxógrafo griego, fue admitido en la ciudad jonia de Mileto, a orillas del Mar Egeo, después de ser expulsado de Fenicia junto conNileo). Nacido o no en Mileto, es incuestionable que residió en aquella ciudad, y que fue allí donde desarrolló su filosofía, sus investigaciones científicas y sus intervenciones políticas.

Fue hijo de Euxamias (o Examio) y de Cleobulinas (o Cleóbula), y habría tenido ascendencia fenicia. Puesto que los jonios comerciaban frecuentemente conEgipto y Babilonia, es probable que Tales visitara el primero en alguna etapa de su vida, y allí podría, por un lado, haber recibido enseñanzas de los sacerdotes, quienes registraban con mucho celo todo evento astronómico o meteorológico excepcional por motivos religiosos y que poseían, por consiguiente, copiosa información al respecto; y, por el otro, haber adquirido conocimientos matemáticos, que los egipcios habían desarrollado a un nivel práctico con el fin de medir y delimitar las parcelas de tierra cuyos límites solían borrarse con las continuas crecidas del río Nilo. Podrían haber sido condiscípulos suyos Solón y Ferécides de Siros, y una fuente lo vincula con Pitágoras, a quien habría recomendado viajar a Egipto y educarse con los sacerdotes de Menfis y Dióspolis, pero estos datos en absoluto son confiables, puesto que provienen de fuentes muy alejadas de la época de Tales. De los babilonios pudo también haber obtenido conocimientos científicos. Sí es más seguro que el filósofo Anaximandro haya sido su discípulo, así comoAnaxímenes el de éste.

Tanto Heródoto (I, 170) como Diógenes Laercio (I, 25) lo señalan como un sabio consejero político de jonios y lidios.

Entre las anécdotas que de Tales se cuentan, refiere Heródoto (I, 75) que logró desviar el río Halys para que fuera cruzado por el ejército de Creso (Herodoto mismo descree de esto, pero modernos especialistas no descartan por completo su veracidad). Aristóteles, por su parte, cuenta en su Política (I, 11, 1259a) cómo una vez que, habiéndosele reprochado su pobreza y su falta de preocupación por los asuntos materiales, y luego de haber previsto, gracias a sus conocimientos astronómicos, que habría una próspera cosecha de aceitunas la siguiente temporada, compró durante el invierno todas las prensas de aceite de Mileto y Quíos y las alquiló al llegar la época de la recolección, acumulando una gran fortuna y mostrando así que los filósofos pueden ser ricos si lo desean, pero que su ambición es bien distinta. Quizás la anécdota más conocida de Tales es aquella que nos refiere Heródoto: que predijo a los jonios el año en que sucedería un eclipse solar (lo que desde 2005 se sabe que fue por el conocimiento de un ciclo de eclipses babilónico), hacia el año 585 a. C. El eclipse ocurrió, en efecto, en medio de una batalla, lo que llevó a los contendientes a detenerse y a avanzar un acuerdo de paz, por temor de que el evento fuera una advertencia divina. También es muy conocido lo que cuenta Platón: que, al caer Tales en un pozo mientras miraba el movimiento de las estrellas, una campesina tracia se reía mientras el filósofo se excusaba diciendo "que tenía ansias de conocer las cosas del cielo pero que lo que estaba... justo a sus pies se le escapaba"⁵

Apolodoro, en su Cronología, afirma que murió a la edad de setenta y ocho años; Sosícrates, que murió en la olimpiada LVIII, a la edad de noventa años. Como sea, actualmente se acepta que murió cerca del año 546 a. C.

Aportes matemáticos

Se atribuyen a Tales varios descubrimientos matemáticos registrados en los Elementos de Euclides: la definición I. 17 y las proposiciones I. 5, I. 15, I. 26 y III. 31.

Semicírculo que ilustra un teorema de Tales.

Asimismo es muy conocida la leyenda acerca de un método de comparación de sombras que Tales habría utilizado para medir la altura de las pirámides egipcias, aplicándolo luego a otros fines prácticos de la navegación. Se supone además que Tales conocía ya muchas de las bases de la geometría, como el hecho de que cualquierdiámetro de un círculo lo dividiría en partes idénticas, que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular.

Los egipcios habían aplicado algunos de estos conocimientos para la división y parcelación de sus terrenos. Mas, según los pocos datos con los que se cuenta, Tales se habría dedicado en Grecia mucho menos al espacio (a las superficies) y mucho más a las líneas y a las curvas, alcanzando así su geometría un mayor grado de complejidad y abstracción.

El tangram

El Tangram (chino: 七巧板, pinyin: qī qiǎo bǎn; "siete tableros de astucia", haciendo referencia a las cualidades que el juego requiere) es un juego chino muy antiguo, que consiste en formar siluetas de figuras con las siete piezas dadas sin solaparlas. Las 7 piezas, llamadas "Tans", son las siguientes:

• 5 triángulos rectángulos, dos construidos con la diagonal principal del mismo tamaño, los dos pequeños de la franja central también son del mismo tamaño.
• 1 cuadrado
• 1 paralelogramo o romboide

Normalmente los "Tans" se guardan formando un cuadrado.

Existen varias versiones sobre el origen de la palabra Tangram, una de las más aceptadas cuenta que la palabra la inventó un inglés uniendo el vocablo cantonés "tang" que significa chino, con el vocablo latino "grama" que significa escrito o gráfico. Otra versión dice que el origen del juego se remonta a los años 618 a 907 de nuestra era, época en la que reinó en China la dinastía Tang de donde se derivaría su nombre.

El Tangram se originó muy posiblemente a partir del juego de muebles yanjitu durante la dinastía Song. Según los registros históricos chinos, estos muebles estaban formados originalmente por un juego de 6 mesas rectangulares. Más adelante se agregó una mesa triangular y las personas podían acomodar las mesas de manera que formaran una gran mesa cuadrada. Hubo otra variación más adelante, durante la dinastía Ming, y un poco más tarde fue cuando se convirtió en un juego.

Hay una leyenda que dice que un sirviente de un emperador chino llevaba un mosaico de cerámica, muy caro y frágil, y tropezó rompiéndolo en pedazos. Desesperado, el sirviente trató de formar de nuevo el mosaico en forma cuadrada pero no pudo. Sin embargo, se dio cuenta de que podía formar muchas otras figuras con los pedazos.

No se sabe con certeza quién inventó el juego ni cuándo, pues las primeras publicaciones chinas en la aparece son del siglo XVIII, y entonces el juego era ya muy conocido en varios países. En China, el Tangram era muy popular y se consideraba un juego para mujeres y niños.

A partir del siglo XVIII, se publicaron en América y Europa varias traducciones de libros chinos en los que se explicaban las reglas del Tangrama, el juego era llamado "el rompecabezas chino" y se volvió tan popular que lo jugaban niños y adultos, personas comunes y personalidades del mundo de las ciencias y las artes; el tangrama se había convertido en una diversión universal. Napoleón Bonaparte se convirtió en un verdadero especialista en 

Tangram desde su exilio en la isla de Santa Elena.

En cuanto a las figuras que pueden realizarse con el Tangrama, la mayor parte de los libros europeos copiaron las figuras chinas originales que eran tan sólo unos cientos. Para 1900 se habían inventado nuevas figuras y formas geométricas y se tenían aproximadamente 900. Los primeros libros sobre el tangrama Se concedía más atención al juego mismo y sus siete componentes, de forma que el tangrama era producido y vendido como un objeto: tarjetas con las siluetas, piezas de marfil y envoltorios en forma de caja, etc. En los libros aparecían unos cuantos cientos de imágenes, en su mayor parte figurativas, como animales, casas y flores, junto a una escasa representación de formas muy extrañas.

Construcción con regla y compás

La construcción con regla y compás¹ es el trazado de puntos, segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. La geometría clásica griega impuso esa norma para las construcciones, aunque los griegos también investigaron las que pueden obtenerse con instrumentos menos básicos.

A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o trasladar distancias, y un solo borde. Del compás se supone que se cierra súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse directamente para trasladar distancias, porque "olvida" la separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Esta restricción del compás parece muy incómoda para los usuarios de compases reales, pero carece por otro lado de importancia matemática, porque el traslado de distancias se puede realizar de forma indirecta.

Cualquier punto que sea obtenible usando regla y compás puede conseguirse también usando únicamente compás; lo que evidentemente no se puede hacer es trazar el segmento de recta entre dos puntos previamente construidos. Como se verá, algunos problemas de geometría plana clásica imponen la restricción de "sólo compás".

Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución "con regla y compás" son la proverbial cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, a los que a veces se añade la construcción del heptágono regular, el primero de los infinitos polígonos regulares imposibles de trazar mediante regla y compás. Tienen en común ser de resolución imposible: está matemáticamente demostrado que no se puede cuadrar el círculo, ni duplicar el cubo, ni trisecar el ángulo, ni trazar un heptágono regular usando exclusivamente la regla y el compás idealizados de la geometría griega.

Pese a esa "imposibilidad lógica" insalvable, muchos persisten en el intento de resolver estos famosos problemas.²Quizás, porque no aciertan a explicarse la imposibilidad, dado que son resolubles si se permiten transformaciones geométricas que no pueden realizarse con regla y compás "euclídeos". Duplicar el cubo es posible utilizando algunas construcciones geométricas que sólo requieren un poco más que la regla y el compás clásicos.

La regla y el compás de las construcciones geométricas son idealizaciones de las reglas y compases del mundo real. Son conceptos matemáticos abstractos, como pueda serlo la raíz cuadrada, y no instrumentos físicos.

• El compás puede trazar circunferencias de cualquier radio dado, pero a diferencia de la mayoría de compases reales, no tiene ninguna marca que permita repetir una abertura predeterminada. Sólo puede abrirse entre puntos que hayan sido previamente construidos, así que en realidad su única función es trazar una circunferencia, o parte de ella, con un centro predeterminado y un radio también determinado por un punto prefijado. Además, se trata de un compás "idealizado", que en cuanto deja de tocar el papel se cierra, perdiendo todo recuerdo del radio de la circunferencia que acaba de trazar.

• La regla es "infinitamente larga" (es decir, puede prolongar una recta tanto como se quiera), carece de marcas que permitan medir con ella, y sólo tiene un borde, cosa insólita en las reglas mundanas (si tuviera, por ejemplo, dos bordes, permitiría trazar rectas paralelas). Puede usarse sólo con un fin modesto: trazar una recta entre dos puntos que ya existan en el papel, o bien prolongar (tanto como se desee, eso sí) una de esas rectas.

Los tres problemas insolubles clásicos de construcción con regla y compás son:

Ilustración de un diccionario de arquitectura francesa.

• Cuadratura del círculo: Se trata de dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie que un círculo dado. Se aporta como dato de partida el círculo a cuadrar (su centro y uno de los puntos de su circunferencia), y se considera resuelto el problema cuando consigue trazarse el segmento de recta que es un lado del cuadrado que iguala el área de dicho círculo.

• Duplicación del cubo: Ha de dibujarse el lado de un cubo cuyo volumen duplique al de otro cubo del que se da el lado como dato de partida.

• Trisección del ángulo: Debe dividirse un ángulo dado en tres ángulos más pequeños, los tres del mismo tamaño, cuya suma sea igual al ángulo dado. Se aporta como dato el ángulo a trisecar (las dos rectas que lo forman, o puntos que permitan trazarlas) y se consideraría resuelto el problema cuando se traza un ángulo cuya apertura es un tercio de la del ángulo dado.

Poligonos regulares

Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida.
Veamos las distintas características de los polígonos regulares, empleando la figura de un Hexágono para representar un polígono regular genérico. 
Una característica de los polígonos regulares, es que se pueden trazar inscriptos en una circunferencia que tocará cada uno de los vértices del polígono. A medida que crece el número de lados de un polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez más a la de un círculo.

En un polígono regular podemos distinguir:

Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono. 
Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. 
Centro, C: El punto central equidistante de todos los vértices. 
Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. 
Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono. 
Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos. 
Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.

 

Lineas y puntos notables de un triangulo

• 
  Mediatriz - Circuncentro

Llamaremos mediatrices de un triángulo a las mediatrices de sus lados. Las tres mediatrices de un triángulo se intersectan en un punto llamadocircuncentro. Este punto es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo llamada circunferencia circunscripta.

• Bisectriz - Incentro

Llamaremos bisectrices de un triángulo a las bicectrices de sus ángulos interiores. Las tres bisectrices se intersectan en un punto llamadoincentro. Este punto es centro de una circunferencia que tiene la particularidad de ser tangente a los tres lados del triángulo y su radio es la distancia del incentro a cualquiera de sus lados. A dicha circunferencia la llamamos circunferencia circunscripta. 

• Altura - Ortocentro

Llamaremos altura de un triángulo a la distancia de cada vértice a la recta que contiene al lado opuesto. Las rectas que contienen a las alturas de un triángulo se intersectan en un punto al que llamaremos ortocentro. 

• Mediana - Baricentro

Llamaremos mediana de un triángulo a cada uno de los segmentos que tiene por extremos un vértice y el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se intersectan en un punto llamado baricentro. 

Observación interesante: El baricentro es llamado centro de gravedad. El término baricentro deriva del griego "baros", peso, e indica que el baricentro es el punto en que se concentra en peso del triángulo. De esta manera, si pasáramos un hilo por el baricentro de un triángulo de cartulina y lo mantenemos suspendido (así como lo muestra la figura) podemos observar que el triángulo se mantiene en equilibrio. Pruébalo y luego nos cuentas; recuerda que para ubicar el baricentro debes ayudarte de las medianas. 

Los tocapus

Los tocapus incas, introducción a su estudio

“Y así dicen que salieron vestidos de unas mantas largas y unas a manera de camisas sin collar ni mangas, de lana, riquísimas, con muchas pinturas de diferentes maneras, que ellos llaman tocabo [tocapu], que en nuestra lengua quiere decir “vestido de reyes”, y que el uno de estos señores sacó en la mano una honda de oro y en ella puesta una piedra, y que las mujeres salieron vestidas tan ricamente como ellos e sacaron mucho servicio de oro.” 

Cieza de León, El señorio de los incas. Capitulo VI.

¿Qué son los tocapus?

Son los símbolos incaicos que se encuentran en los tejidos y objetos artísticos de los incas. Tienen forma geométrica. Muchos investigadores han tratado de revelar su significado. Según Margarita Gentile , las primeras definiciones del tocapu se encuentran en los diccionario quechua, como el Vocabulario y phrasis en la lengua general de los indios del Perú llamada quichua y en la lengua española (1586) se refiere a Tocapu como: “Tocapo, labor en lo que se brosla o texe o en vasos, tablas &c.” (Anónimo 1951: 84).

Gonzales Holguin los definió como: “Los vestidos de lauores preciosos, o paños de lauor texidos.” 

En la lengua aymara existe la palabra tocapu, esta se refiere a “Tocapu amaotta: Hombre de gran entendimiento. / Tocapu chuymani; Idem. / Tocapu isi: Vestido, o ropa del Inga hecha a las mil marauillas, y assi llaman agora al Terciopelo, Telas, y Brocados &c quando quieren alabarlos. / Tocapu quellcata: Cosa bien pintada, y asi de otras cosas.” 

Otra estudiosa de los tocapus Gail Silverman (1994) estudiosa de la textilería andina define: “Los tocapus son cuadrados pequeños de gran figura con ciertos dibujos repetitivos que adornaban las prendas más lujosas.” 

El arqueólogo Peter Eeckhout (2004) escribe sobre esto: “los tocapus son cuadrángulos rellenos con motivos de varios colores, geométricos o figurativos, estilizados, que aparecen en forma de series en los tejidos y vasos ceremoniales del periodo inca y de los inicios del periodo colonial. Un mismo motivo puede ser representado en diferentes combinaciones de colores y con orientaciones variables. Varia o cambia igualmente el ordenamiento de los tocapus en los textiles, pues a veces forman hileras horizontales o se encuentran alrededor del cuello del unku”. 

En conclusión, todos los investigadores muestran a los tocapus como símbolos en los textiles y los vasos de madera.

Kero incaico con tocapus (Foto: hisperumusic.blogspot.com)

¿Para que servían los tocapus?

Algunas investigaciones señalan que fueron sistemas de escritura de los incas. A pesar que siempre se ha dicho que los incas no tuvieron escritura. 

Victoria de la Jara (1964-1967) que llamó tocapu o tocapo a cada uno de aquellos signos cuadrados y creía que se trató de un sistema de escritura incaica. De la Jara identificó 294 tocapus incaicos.

Burns Glynn (1981) sugirió que los tocapus en realidad son fonemas gráficos. Cada tocapu representa un sonido que unido forma un sistema de escritura alfabética.

Tom Zuidema (1982) cree que los tocapus incaicos son símbolos heráldicos (escudos nobiliarios) que representaron a grupos sociales en el Tahuantinsuyo.

Pachacutec según Guaman Poma de Ayala y su traje con tocapus.

Eeckhout comparte la opinión de Zuidema: “En suma, los tocapus son parte de un sistema de comunicación grafica que trasmite diversos tipos de información y puede identificar a una persona y, tal vez, un periodo del año, pero no son una forma de escritura en el sentido estricto del termino.” 

Gail Silverman, estudiosa del tejido andino, también cree era un tipo de escritura de los tocapus. En sus estudios en la comunidad de Qero en Cusco ha estudiado los tocapus y los ha tratado de relacionar con los textiles que se hacen allí actualmente.

Según Silverman: “Los motivos textiles funcionan como una escritura pictográfica o ideográfica. Con una tipología de los motivos basados sobre la técnica de tejer y sus resultantes, se relaciona la iconografía actual del Cusco con los motivos incas." 

Por otro lado, algunos investigadores como Tom Cummins, especialista en simbología inca en los queros, piensa que los tocapus no son un tipo de escritura.

En los últimos años se ha publicado un estudio bastante polémico realizado por Laura Laurencich, investigadora italiana, su estudio se fundamenta en una fuente del siglo XVIII. Para ella los tocapus servirían para comunicarse con los dioses y conservar la memoria de los relatos míticos.

Sobre esto Laurencich, ha propuesto una lista de tocapus decodificados según utilizando información del documento “Rudimenta Pirua Linguae”.

DATOS PERSONALES DE LOS CREADORES DE ESTE BLOG

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SCipion. E. Llona

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Betty Mena 

FIESTAS PATRIAS

Las Fiestas Patrias del Perú son las celebraciones nacionales anuales que celebran la Independencia del Perú después del dominio de España.¹ Constan oficialmente de dos días:

• El 28 de julio, en conmemoración a la declaratoria de Independencia en Lima por parte de don José de San Martín (el acta se firmó el 15 de julio de 1821).

• El 29 de julio, en honor a las Fuerzas Armadas de la República del Perú y a la Policía Nacional del Perú.

Las celebraciones de Fiestas Patrias coinciden con la semana de vacaciones por parte de las escuelas y algunas instituciones.²Junto a la Navidad, las Fiestas Patrias significan la mayor y principal celebración del año para los peruanos y es usual que loscomercios generen tantas ganancias como en el mes de diciembre.
El turismo interno y externo crece especialmente en estas fiestas ya que con los feriados, la gente suele visitar diversas zonas turísticas del Perú y ser parte de estas celebraciones. Cabe destacar que durante el siglo XIX, las fechas conmemorativas más importantes eran el 28 de julio (Declaración de la Independencia), el 9 de diciembre (Batalla de Ayacucho) y la fecha de cambio de mando presidencial.

DIA DEL MAESTRO

El Día del Maestro es una festividad en que se celebra a los maestros, catedráticos, profesores y personas que generalmente trabajan enseñando. En el caso de América, la Conferencia Interamericana de Educación (celebrada en Panamá en 1943) recomendó celebrar el Día Panamericano del Maestro el 11 de septiembre (fallecimiento del educador y presidente argentino Domingo Faustino Sarmiento).